地位量数(上)—平均数
912 次检阅

地位量数,又称为集中量数,属于摘要统计值的一种,主要目的是用单一数字描述资料的中心位置,但是针对不同的资料类型,选择具有代表性之中心位置的方法不同,最常见的地位量数有平均数、中位数及众数三类,本篇针对平均数进行介绍。

一、平均数 (mean):

(1) 算术平均数 (arithmetic mean):将整组样本加总后除上样本数。

    计算公式(未分组):

    样本:\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}\)(统计量),\(n=\) 样本大小,\(x_i:\) 第 \(i\) 个观察值

    母体:\(\displaystyle\mu=\frac{\sum^N_{i=1}x_i}{N}\)(母数),\(N=\) 母体大小

    例子:欲调查某国小 \(20\) 位同学的身高,资料如下:

    \(120, 133, 140, 128, 123, 134, 138, 129, 141, 158,\)
    \(130, 134, 144, 126, 139, 141, 150, 118, 124, 127\)

    求出 \(20\) 位同学的平均身高。

    解:\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}=\frac{1}{20}(120+133+140+…+124+127)=133.85\)

      计算公式(已分组):

      样本:\(\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum^n_{i=1}m_i\times f_i}{n}\),\(n=\) 组数,\(m_i:\) 第 \(i\) 组之组中点,\(f_i:\) 第 \(i\) 组之次数

      母体:\(\displaystyle\mu=\frac{\sum^N_{i=1}m_i\times f_i}{N}\)

      例子:将 \(30\) 位同学之段考成绩表列如下(题目表中仅提供组界及次数),求平均:

      表一、30 位同学之段考成绩表。(本文作者蓝翊文製)

      组界组中点(x)

      (自行计算)次数 (f)组中点\(\times\)次数

      (自行计算)49.5-59.554.5210959.5-69.564.5638769.5-79.574.51289479.5-89.584.57591.589.5-99.594.53283.5302265

      解:先计算出组中点,并把组中点和次数相乘,\(\overline{x}=\frac{2265}{30}=75.5\)

      (2) 修整平均数 (trimmed mean):当一组样本中出现极端值(即数字太大或太小)时,为避免整体平均受到极端值的影响,可考虑将极端值移除后,再将剩下资料进行平均,又称为去头尾平均数。例如欲保留资料中 \(90\%\) 的数值计算修整平均数,需将样本中的数值由小排到大排序,并将最大的 \(5\%\) 及最小的 \(5\%\) 的数值移除后计算平均数,即为 \(90\%\) 修整平均数。

      例子:\(15\) 位打靶者,每人有 \(13\) 发子弹,其中靶的次数如下:

      \(13, 1, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 6, 8\)

      求 \(15\) 位同学之 \(70\%\) 修整平均数。

      解:\(n = 13,~~~a = 0.3\),应去头尾的笔数各为 \(\left[\frac{0.3}{2}\times 13\right]=\left[1.95\right]=1\)(小数点后无条件捨去),意即去掉最大的数 \(13\),及最小的数 \(1\),剩下的 \(13\) 笔资料为:

      \(4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 11, 12\)

      因此 \(70\%\) 修整平均数为 \(\frac{4+5+5+…+8+11+12}{13}=7.1538\)

      (3) 加权算数平均数 (weighted mean):应用在观测数值之重要性不相等的情况。

        公式:\(\displaystyle \overline{x_w}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+…+w_nx_n}{w_1+w_2+w_3+…+w_n}\),\(w\)(权重):用以区分观察值重要性的数字。

        例子:探讨 A 棒球队 \(3\) 位打击手之打击率,其打击率与打及次数如下表所示,求 \(3\) 人之平均打击率。

        表二、三位打击手打击率表。(本文作者蓝翊文製)

        打击者打击次数打击率王小明300.35蔡小华100.22吴小凯200.27

        解:以打击的次数作为权重,可得:

        \(\displaystyle \overline{x_w}=\frac{30\times 0.35+10\times 0.22+20\times 0.27}{30+10+20}=\frac{18.1}{60}=0.30167\)

        此三位打击者的平均打击率为 \(0.30167\)。

        (4) 几何平均数 (geometric mean):将 \(n\) 个观察值连乘后取 \(n\) 次方根,各数值中不可有任一个数为 \(0\) 或为负数,一般在数列成等比级数、计算比例、变动率时使用。

          公式(未分组):\(\displaystyle G=\sqrt[n]{\Pi^n_{i=1}x_i}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot … \cdot x_n}\)

          例子:求\(3, 3, 9, 9, 27, 27\) 之几何平均数。解:\(\sqrt[6]{3\times3\times9\times9\times27\times27}=\sqrt[6]{3^{12}}=9\)

          (5) 调和平均数 (harmmonic mean):为各数值倒数之算术平均数的倒数,又称倒数平均数,数列中不能有任何一个数为 \(0\),一般用在数列呈等差级数、平均速率的情况。

            公式(未分组):\(\displaystyle H=\frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{1}{x_i}}\)

            例子:欲往返甲、乙两地,两地之距离为 \(10\) 公里,去程平均每小时走 \(3\) 公里,回程平均每小时走 \(5\) 公里,求全程往返的平均速率为何?

            解:\(\displaystyle H=\frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=3.75\) (公里/小时)

              公式(已分组):\(\displaystyle H=\frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{f_i}{m_i}}\),\(f_i:\) 每组个数,\(m_i:\) 每组的组中点,\(n=f_1+…+f_n\)地位量数(上)—平均数

              图一、算术平均数(绿线)、几何平均数(红线)与调和平均数(蓝线)之关係。(本文作者蓝翊文製)

              连结:地位量数(下)—中位数、众数


              参考文献

上一篇: 下一篇:
随机文章
热门文章